Tensor metryczny

Tensor metryczny – to tensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach), symetryczny, charakterystyczny dla danego układu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej, występuje w elektrodynamice, teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej.

Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposobyː

W artykule opisano oba sposoby.

Niech






x



i




,


i


=


1


,


2


,






,


n




{\displaystyle x^{i},i=1,2,\dots ,n}


oznaczają współrzędne (na ogół krzywoliniowe) zdefiniowane na rozmaitości





M




{\displaystyle M}


, przy czym





n




{\displaystyle n}


jest wymiarem rozmaitości. Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru

gdzie





x


=


(



x



1




,






,



x



n




)




{\displaystyle x=(x^{1},\dots ,x^{n})}


jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określona dla przestrzeni stycznej





T



M



x






{\displaystyle TM_{x}}


w punkcie





x




{\displaystyle x}






M




{\displaystyle M}


. (Odtąd będziemy skrótowo mówić ”punkt





x




{\displaystyle x}


” zamiast ”punkt o wektorze wodzącym





x




{\displaystyle x}


”. Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.

Niech dana będzie n-wymiarowa rozmaitość różniczkowa





M




{\displaystyle M}


ze zdefiniowanym w niej iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym





φ



:



M


×



M






K




{\displaystyle \varphi \colon M\times M\to K}


, gdzie





K


=


R




{\displaystyle K=R}


lub





K


=


C




{\displaystyle K=C}


(ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Tensor metryczny rozmaitości definiuje się poprzez iloczyny skalarne wektorów bazy, tj.:






g



i


j




=



e



i





e



j




,







i


,


j


=


1


,


2


,






,


n




{\displaystyle g_{ij}=e_{i}e_{j},\,\,\,\,\,i,j=1,2,\dots ,n}


Tensor ten ma więc





n


×



n




{\displaystyle n\times n}


elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora.

Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy





(



g



i


j




)




{\displaystyle (g_{ij})}


, czyli:





(



g



i


j




)


=


(



g



i


j





)







1






{\displaystyle (g^{ij})=(g_{ij})^{-1}}


Współrzędne






g



i


j






{\displaystyle g_{ij}}


tensora metrycznego są więc równe iloczynom skalarnym wektorów bazowych






e



i




,



e



j






{\displaystyle e_{i},e_{j}}


lokalnego układu współrzędnych.

Aby obniżyć wskaźniki dowolnego wektora trzeba pomnożyć go przez tensor metryczny






g



i


j






{\displaystyle g_{ij}}







A



i




=



g



i


j





A



j






{\displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j}}


.

Aby podwyższyć wskaźniki, trzeba wykorzystać tensor






g



i


j






{\displaystyle g^{ij}}


:






A



i




=



g



i


j





A



j






{\displaystyle A^{i}=g^{ij}A_{j}}


.

Iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów wyraża się przez tensor metryczny i współrzędne wektorów w jedenz trzech równoważnych sposobów:

gdzie:






g



i


j






{\displaystyle g_{ij}}


tensor metryczny






A



i




,



B



j






{\displaystyle A^{i},B^{j}}


– współrzędne kontrawariantne (górne) wektorów





A


,


B




{\displaystyle A,B}







A



i




,



B



j






{\displaystyle A_{i},B_{j}}


– współrzędne kowariantne (dolne) wektorów





A


,


B




{\displaystyle A,B}


Dla przestrzeni euklidesowej






g



i


j




=


1




{\displaystyle g_{ij}=1}


,






g



i


i




=


0




{\displaystyle g_{ii}=0}


, gdy





i






j




{\displaystyle i\neq j}


. Wtedy współrzędne kowariantne równe są kontrawiariantnym oraz





A






B


=



A



i





B



j




=



A



i





B



j




=



A



i





B



j






{\displaystyle A\cdot B=A^{i}B^{j}=A^{i}B_{j}=A_{i}B^{j}}


Dowód:

Stąd otrzymamy:





A






B


=


(








i


=


1




n





A



i





e



i




)


 


(








j


=


1




n





B



j





e



j




)


=








i


=


1




n










j


=


1




n




 



e



i





e



j





A



i





B



j




=








i


=


1




n










j


=


1




n





g



i


j





A



i





B



j






{\displaystyle A\cdot B=(\sum _{i=1}^{n}A^{i}e_{i})\ (\sum _{j=1}^{n}B^{j}e_{j})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\ e_{i}e_{j}A^{i}B^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}A^{i}B^{j}}


Stosując konwencję sumacyjną oraz zasady podwyższania/obniżania wskaźników otrzymamy:





A






B


=



g



i


j





A



i





B



j




=



A



i





B



j




=



A



i





B



j






{\displaystyle A\cdot B=g_{ij}A^{i}B^{j}=A^{i}B_{j}=A_{i}B^{j}}


, c.n.d.

(1) Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowej rozmaitości różniczkowej:

(2) Definiujmy element liniowy jako





d



s



2




=


(


d



x



1





)



2




+






+


(


d



x



n





)



2




=








i


=


1




n




(


d



x



i





)



2






{\displaystyle ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}}


(3) Można przejść od układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych krzywoliniowych za pomocą transformacji:






x



i




=



x



i




(



q



1




,


.


.


.


,



q



n




)


,


 


i


=


1


,


2


,


.


.


.


,


n




{\displaystyle x^{i}=x^{i}(q^{1},…,q^{n}),\ i=1,2,…,n}


gdzie






x



i




(



q



1




,


.


.


.


,



q



n




)




{\displaystyle x^{i}(q^{1},…,q^{n})}


– funkcje wyrażające współrzędne kartezjańskie przez krzywoliniowe.

(4) Jeżeli każda funkcja






x



i




(



q



1




,


.


.


.


,



q



n




)




{\displaystyle x^{i}(q^{1},…,q^{n})}


ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów, to ze wzoru na różniczkę zupełną otrzymamy





d



x



i




=








j


=


1




n












x



i











q



j







d



q



j






{\displaystyle dx^{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}}


(5) Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy otrzymamy





d



s



2




=








i


=


1




n




(


d



x



i





)



2




=








i


=


1




n





(








j


=


1




n












x



i











q



j







d



q



j




)




(








k


=


1




n












x



i











q



k







d



q



k




)



=








i


=


1




n










j


=


1




n










k


=


1




n












x



i











q



j















x



i











q



k







d



q



j




d



q



k






{\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{k}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}}


(6) Tensorem metrycznym nazywa się występujące w powyższym wzorze wielkości






g



j


k














i


=


1




n












x



i











q



j















x



i











q



k









{\displaystyle g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}


(7) Wzór na element liniowy przyjmie postać (przy czym zmieniono nazwy indeksów sumacyjnych)





d



s



2




=








i


=


1




n










j


=


1




n





g



i


j




d



q



i




d



q



j






{\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dq^{i}dq^{j}}






d



s



2




=



g



i


j




d



q



i




d



q



j






{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}}


Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy wektor skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech:

Ponieważ





(


d



x



1




,






,


d



x



n




)


=








i


=


1




n




d



x



i





e



i






{\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})=\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i}}


, to kwadrat długości wektora





d



x





{\displaystyle d\mathbf {x} }


wynosi:





d



s



2








d




x




2




=


d



x



 


d



x



=




{\displaystyle ds^{2}\equiv d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {x} \ d\mathbf {x} =}






=


(








i


=


1




n




d



x



i





e



i




)


(


 








j


=


1




n




d



x



j





e



j




)


=








i


=


1




n










j


=


1




n





e



i





e



j




 


d



x



i




d



x



j




=








i


=


1




n










j


=


1




n





g



i


j




d



x



i




d



x



j






{\displaystyle =(\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i})(\ \sum _{j=1}^{n}dx^{j}e_{j})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}e_{i}e_{j}\ dx^{i}dx^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}


Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznieː





d



s



2




=



g



i


j




d



x



i




d



x



j






{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}


.

(1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.






g



i


j




=



g



j


i






{\displaystyle g_{ij}=g_{ji}}


Jest to możliwe, gdyż w wyrażeniu





d



s



2




=








i


=


1










j


=


1





g



i


j




d



x



i




d



x



j






{\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}\sum _{j=1}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}


dla każdej pary wskaźników





i


,


j




{\displaystyle i,j}


mamy sumę dwóch wyrazówː






g



i


j




d



x



i




d



x



j




+



g



j


i




d



x



j




d



x



i






{\displaystyle g_{ij}dx^{i}dx^{j}+g_{ji}dx^{j}dx^{i}}


=





(



g



j


i




+



g



j


i




)


d



x



i




d



x



j






{\displaystyle (g_{ji}+g_{ji})dx^{i}dx^{j}}


Gdyby






g



i


j









g



j


i






{\displaystyle g_{ij}\neq g_{ji}}


, to można dokonać symetryzacji przyjmując nowe wartości






g



i


j




n


o


w


e




=



g



j


i




n


o


w


e




=






g



i


j




+



g



j


i





2






{\displaystyle g_{ij}^{nowe}=g_{ji}^{nowe}={\frac {g_{ij}+g_{ji}}{2}}}


.

(2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej go macierzy





(



g



i


j




)




{\displaystyle (g_{ij})}


, to implikuje natychmiast, że tensor






g



i


j






{\displaystyle g^{ij}}


jest symetryczny, tj.






g



i


j




=



g



j


i






{\displaystyle g^{ij}=g^{ji}}


Z tensora






g



i


j






{\displaystyle g_{ij}}


można otrzymać tensory






g



 


j




i






{\displaystyle g_{\ j}^{i}}


oraz






g



j




 


i






{\displaystyle g_{j}^{\ i}}


odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika:






g



 


j




i




=



g



i


k





g



k


j






{\displaystyle g_{\ j}^{i}=g^{ik}g_{kj}}







g



j




 


i




=



g



k


i





g



j


k






{\displaystyle g_{j}^{\ i}=g^{ki}g_{jk}}


Ponieważ tensory






g



i


j






{\displaystyle g_{ij}}


oraz






g



i


j






{\displaystyle g^{ij}}


są symetryczne, to






g



i


k





g



k


j




=



g



k


i





g



j


k






{\displaystyle g^{ik}g_{kj}=g^{ki}g_{jk}}


i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:






g



 


j




i




=



g



i




 


j






{\displaystyle g_{\ j}^{i}=g_{i}^{\ j}}


co oznacza, że istnieje symetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.

Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:






h



i




2




=



g



i


i






{\displaystyle h_{i}^{2}=g_{ii}}


(nie ma sumowania)

Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach steel bottles for drinking, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktów






P



1






{\displaystyle P_{1}}


i






P



2






{\displaystyle P_{2}}


obliczone w danym układzie i po dokonaniu transformacji





d



s



2




=


d



x



2




+


d



y



2




+


d



z



2






{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}


oraz





d



s









2




=


d



x









2




+


d



y









2




+


d



z









2






{\displaystyle ds^{‘2}=dx^{‘2}+dy^{‘2}+dz^{‘2}}


będą identyczne. Z tego względu





d



s



2






{\displaystyle ds^{2}}


stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:






g



i


j




=



g



j


i




=




(





1




0




0






0




1




0






0




0




1





)






{\displaystyle g_{ij}=g^{ji}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}


Można pokazać, że dowolna transformacja w wyżej wymienionych, np. obrót układu współrzędnych, nie zmienia tensora metrycznego.

Element liniowy n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach i translacjach układu współrzędnych, tj.





d



s



2




=


(


d



x



1





)



2




+






+


(


d



x



n





)



2






{\displaystyle ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}}


Stąd tensor metryczny ma postać diagonalną:






g



i


j




=



δ




i


j




=



g



i


j






{\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}=g^{ij}}


gdzie






δ




i


j






{\displaystyle \delta _{ij}}


– delta Kroneckera

Z postaci tego tensora wynika też, że w n-wymiarowym układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same.

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni (opisywanej przez szczególną teorię względności) interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Niezmienniczość ta jest konsekwencją postulatu Einsteina o identyczności prędkości światła we wszystkich układach nieinercjalnych i stanowi punkt wyjścia teorii względności: mierząc odległości czasowe i przestrzenne impulsu światła, rozchodzącego się między danymi dwoma obiektami w danym układzie i układzie poruszającym się otrzymamy identyczne wartości, tj. jeśli w dwóch poruszających się względem siebie układach obliczy się interwały





d



s



2




=



c



2




d



t



2








d



x



2








d



y



2








d



z



2






{\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}






d



s









2




=



c



2




d



t









2








d



x









2








d



y









2








d



z









2






{\displaystyle ds^{‘2}=c^{2}dt^{‘2}-dx^{‘2}-dy^{‘2}-dz^{‘2}}


to wyniki te będą identyczne, tj.





d



s



2




=


d



s









2






{\displaystyle ds^{2}=ds^{‘2}}


mimo że wielkości





d


t


,


d


x


,


d


y


,


d


z




{\displaystyle dt,dx,dy,dz}


oraz





d



t






,


d



x






,


d



y






,


d



z








{\displaystyle dt’,dx’,dy’,dz’}


w ogólności będą się różnić. Fakt, iż powyższa wielkość jest niezmiennikiem implikuje, że geometria rzeczywistego świata fizycznego jest geometrią nieeuklidesową: czas i przestrzeń wiążą się ze sobą nierozerwalnie w czasoprzestrzeń, wielkość





d


s


=


d



s








{\displaystyle ds=ds’}


stanowi element liniowy geometrii czasoprzestrzeni, niezmienniczy względem transformacji Lorentza.

Wektor położenia punktu w czasoprzestrzeni – to 4-wektor, mający współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne. W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać 4-wektory i tensory za pomocą indeksów greckich, np.





μ



,


ν





{\displaystyle \mu ,\nu }


.

Stosując tę konwencję przyjmuje się następujące indeksowanie współrzędnych:






x



0




=


c


t


,



x



1




=


x


,



x



2




=


y


,



x



3




=


z




{\displaystyle x^{0}=ct,x^{1}=x,x^{2}=y,x^{3}=z}


. Wtedy niezmiennik przyjmie postać:





d



s



2




=


(


d



x



0





)



2








(


d



x



1





)



2








(


d



x



2





)



2








(


d



x



3





)



2






{\displaystyle ds^{2}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}}


Z postaci niezmiennika





d



s



2






{\displaystyle ds^{2}}


natychmiast wynika postać tensora metrycznego:






g



μ



ν





=



g



μ



ν





=




(





1




0




0




0






0








1




0




0






0




0








1




0






0




0




0








1





)






{\displaystyle g_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}


Tensor ten implikuje, że 4-wymiarowa czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego) jest przestrzenią płaską (niezakrzywioną). Nie jest to jednak przestrzeń euklidesową, ze względu na przeciwne znaki przy trzech współrzędnych (przestrzennych) w relacji do współrzędnej czasowej. Jest to przestrzeń pseudoeuklidesowa.

W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych





(


c


t


,


r


,


θ



,


ϕ



)




{\displaystyle (ct,r,\theta ,\phi )}


tensor ten ma postać:






g



μ



ν





=




(





1









r



s




r






0




0




0






0










1



1









r



s




r









0




0






0




0









r



2






0






0




0




0









r



2





sin



2








θ






)






{\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1-{\frac {r_{s}}{r}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}


Współrzędne sferyczne





(


r


,


θ



,


ϕ



)




{\displaystyle (r,\theta ,\phi )}


są związane z współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:






{






x


=


r


sin






θ



cos






ϕ







y


=


r


sin






θ



sin






ϕ




















z


=


r


cos






θ











{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\sin \theta \cos \phi \\y=r\sin \theta \sin \phi \\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!z=r\cos \theta \end{matrix}}\right.}


Powyższe współrzędne są współrzędnymi kontrawariantnymi.

Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:






g



i


j




=




(





1




0




0






0





r



2






0






0




0





r



2





sin



2








θ






)






{\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}







g



i


j




=




(





1




0




0






0






1



r



2








0






0




0






1




r



2





sin



2








θ









)






{\displaystyle g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}


Share This:

Comments are closed.

gucci veske | Kelme Outlet

MCM Rucksack | Kelme | maje dresses outlet| maje dresses for sale

kelme paul frank outlet new balance outlet bogner outlet le coq sportif outlet handla nätet nätet handla